Tout depuis le début. Rien à savoir avant.
La distance entre la Terre et le Soleil, écrite en mètres :
149 600 000 000 mLa taille d'un virus de la grippe, en mètres :
0,000 000 1 mÉcrire ça à la main, tu te plantes d'un zéro une fois sur deux. Et un zéro en plus ou en moins, ça change tout : ça multiplie ou ça divise le résultat par dix.
Alors les scientifiques ont inventé un raccourci. Les deux mêmes nombres :
1,496 × 1011 mla Terre et le Soleil 1 × 10−7 mle virus de la grippeLe boulot de cette page : à la fin, ces deux lignes te paraîtront évidentes. Pas « apprises par cœur » — évidentes.
Commençons par ce petit chiffre écrit en haut à droite. On l'appelle l'exposant. Quand il est posé sur un 10, il ne fait qu'une seule chose : compter les zéros.
C'est tout. 106 ne veut pas dire « 10 fois 6 », ça veut dire un 1 suivi de 6 zéros.
Test express : combien vaut 104 ? → un 1, puis quatre zéros : 10 000. Voilà, tu sais déjà lire la moitié des exercices.
C'est là que tout le monde décroche. Pourtant il ne se passe rien de neuf : on continue simplement à descendre l'escalier.
Regarde la colonne de gauche perdre 1 à chaque ligne, et la colonne de droite être divisée par 10 à chaque ligne :
On n'a pas changé de règle en cours de route : on a juste continué l'escalier vers le bas. Le côté négatif, c'est le même escalier, de l'autre côté du 1.
Le moins ne veut PAS dire que le nombre est négatif. 10−3 vaut 0,001 : c'est un nombre positif, juste tout petit. Le moins dit « on est du côté des petits », pas « c'est en dessous de zéro ».
Le repère qui sauve : dans 10−3 = 0,001, le 1 est à la 3e place après la virgule. Dans 10−6, il est à la 6e place. L'exposant te donne directement la place du 1.
S'il ne fallait retenir qu'une chose de toute cette page, ce serait celle-ci.
Multiplier par 10, c'est déplacer la virgule
d'un cran vers la droite.
Diviser par 10, c'est la déplacer d'un cran vers la gauche.
Vérifie par toi-même, tu le sais déjà sans le savoir :
5,4 × 10 = 54la virgule a avancé d'un cran 54 × 10 = 540encore un cranDonc multiplier par 105, c'est-à-dire multiplier par 10 cinq fois de suite, fait faire à la virgule 5 sauts vers la droite. Et 10−5, 5 sauts vers la gauche.
➜ L'exposant dit combien de sauts.
➜ Son signe dit dans quelle direction :
+ → vers la droite, le nombre grandit.
− → vers la gauche, le nombre rapetisse.
Tout le reste de cette page n'est que de l'application de ces trois lignes. Si tu les tiens, tu tiens le chapitre.
Un nombre est écrit en notation scientifique quand il a cette tête-là :
a × 10n…avec un seul chiffre avant la virgule, et ce chiffre n'est jamais 0. Donc a est toujours entre 1 et 9,999…
Les deux nombres de droite ne sont pas faux — ils valent bien quelque chose — ils ne sont juste pas encore mis en forme. Et en interro, c'est la forme qui est demandée.
Au départ, la virgule est tout à la fin (on ne l'écrit pas, mais elle est là : 47 500,0). Elle doit remonter juste après le 4.
Contrôle : 47 500 est un grand nombre → l'exposant doit être positif. Il l'est. ✓
Cette fois la virgule est au début, et elle doit avancer jusqu'après le 6 (le premier chiffre qui n'est pas un 0).
Contrôle : 0,000 62 est un tout petit nombre → l'exposant doit être négatif. Il l'est. ✓
Ne compte pas les zéros : compte les sauts. Dans 0,000 62 il y a 3 zéros après la virgule, mais l'exposant est −4, parce que la virgule saute aussi par-dessus le 6. C'est exactement là que les points se perdent.
C'est le trajet inverse, et il est plus facile : tu déplaces la virgule du nombre de crans indiqué, et tu bouches les trous avec des zéros.
+5 → la virgule part de 5 crans vers la droite. Il n'y a qu'un chiffre derrière elle (le 8), donc les 4 crans restants, on les remplit avec des zéros :
3,8 × 105 = 380 0003 · 8 · 0 · 0 · 0 · 0−4 → la virgule part de 4 crans vers la gauche. Devant le 2 il n'y a rien : on ajoute des zéros au fur et à mesure.
La vérif en 2 secondes : recompte la place du premier chiffre non nul après la virgule. Ici le 2 est à la 4e place, et l'exposant était −4. Ça colle. Si ça ne colle pas, tu as sauté un cran.
0,000 34 → il y a 3 zéros, mais la réponse est 3,4 × 10−4. Compte les sauts de virgule, jamais les zéros.
Le nombre commence par « 0, » ? Alors l'exposant est forcément négatif. Relis ta réponse et vérifie le signe avant de rendre : c'est l'erreur la plus fréquente, et la plus bête à perdre.
47 × 103 n'est pas une réponse valable : il y a 2 chiffres avant la virgule. Il faut encore un saut → 4,7 × 104.
10−5 est un nombre positif et minuscule. Un nombre négatif, lui, s'écrit −3,5 × 104 : le moins est devant, pas sur l'exposant.
Fais-les d'abord sur une feuille, puis tape sur la question pour ouvrir la correction. Si tu ouvres avant, ça ne t'apprend rien.
La virgule est à la fin (3 400,). Elle remonte juste après le 3 : elle franchit le 0, le 0, puis le 4 → 3 sauts. Grand nombre → +3.
Virgule juste après le 5 → il reste 7 chiffres derrière elle (le 2, puis six 0). Astuce pour les grands nombres entiers : le nombre de sauts = le nombre de chiffres qui restent à droite de la virgule.
Le premier chiffre non nul est le 7, en 3e place après la virgule → exposant −3. Ici a = 7 tout court : pas de virgule à écrire, c'est normal et c'est correct.
Le 4 est à la 4e place après la virgule → −4. Attention au piège : il n'y a que 3 zéros, et pourtant c'est bien −4.
Virgule après le 8 → 5 sauts. Et on garde le 0 du milieu : 8,06 et pas 8,6 ! Les zéros coincés entre deux chiffres comptent ; seuls ceux du bout disparaissent.
Compte les places après la virgule jusqu'au 9 : 0-0-0-0-0-0-9, il est en 7e place → −7.
+4 → 4 sauts vers la droite. Après la virgule il n'y a que le 5, donc on complète avec 3 zéros : 2 · 5 · 0 · 0 · 0.
−2 → 2 sauts vers la gauche. Le 6 doit se retrouver en 2e place après la virgule, donc on glisse un 0 devant lui.
−5 → le 1 part en 5e place après la virgule, donc 4 zéros devant lui, puis on recopie le 7 et le 3 derrière.
+6 → 6 sauts vers la droite. On a déjà le 0 et le 4 après la virgule (2 crans), il en manque 4 → on ajoute 4 zéros : 9 · 0 · 4 · 0 · 0 · 0 · 0.
Le nombre était déjà écrit avec une puissance de 10… mais pas en notation scientifique : 47 a deux chiffres avant la virgule. On recule la virgule d'un cran (47 → 4,7), donc le nombre a été divisé par 10 : pour compenser, l'exposant monte de 1 (103 → 104).
Vérification : 47 × 1 000 = 47 000, et 4,7 × 10 000 = 47 000. Pareil. ✓